Proseminar Quadratische Formen
Proseminar im Wintersemester 2016/17, BaM-CM
von Prof. Dr. Jakob Stix
Proseminar: Quadratische Formen
Koordinaten
Ort: Raum 309 Ecksaal, RM 6-8 (Ersatz: 107, RM 10)
Zeit: Dienstag 14-16
QIS/LSF: Proseminar
Ankündigung
- Die Vorbesprechung war am Di, 19. Juli 2016, 15:00, RM 6-8, Raum 309
- Der Termin des Proseminars ist auf Dienstag 14-16 verschoben.
Zum Inhalt des Proseminars
Eine quadratische Form über einem Körper K ist in geeigneten Koordinaten ein Ausdruck q(x) = a1 x12 + a2 x22 + ... + an xn2 mit a1, a2, ..., an ∈ K. Über den reellen Zahlen werden quadratische Formen durch ihre Signatur klassifiziert. Die zugehörigen Quadriken {x ∈ Rn ; Q(x) = r} lassen sich geometrisch unter anderem durch den Satz von der Hauptachsentransformation beschreiben.
Das Proseminar wird die Arithmetik quadratischer Formen beleuchten. Ein Hauptziel ist das lokal-global Prinzip von Hasse und Minkowski: eine quadratische Form über Q hat eine Nullstelle, wenn sie überall lokal eine Nullstelle hat. Dies illustriert eine fundamentale Technik der Zahlentheorie, die Aspekte bezüglich einer fixierten Primzahl p durch Übergang zum lokalen Körper Qp der p-adischen Zahlen isoliert zu betrachten. Die Aspekte der Positivität und Größe studiert man durch Übergang zum lokalen Körper R.
Im Proseminar behandeln wir zunächst endliche Körper und quadratische Formen über endlichen Körpern. Dann lernen wir p-adischen Zahlen kennen und entwickeln die lokale Theorie quadratischer Formen, die vom Hilbertsymbol kontrolliert wird. Im Anschluß globalisieren wir zu quadratischen Formen über Q und abschließend sogar über Z: unimodulare Gitter.
Was man lernt:
endliche Körper, quadratisches Reziprozitätsgesetz, p-adische Zahlen, Invarianten von quadratische Formen, Grothendieck Gruppe.
Es ist geplant, dem Proseminar eine Vorlesung über Elementare Zahlentheorie folgen zu lassen.
Literatur
Jean-Pierre Serre | A course in arithmetic, Springer, Graduate Texts in Mathematics 7, 1973. |
Voraussetzungen
Benötigt werden Kenntnisse aus den Vorlesungen Lineare Algebra, Grundlagen der Algebra und Geometrie.