Ausgewählte Kapitel der Numerik

Aktuelles:

• Die Vorbesprechung mit Anmeldung und Themenvergabe findet am Dienstag, den 16.07.2024, um 16:15 Uhr in Raum 110 (Robert Mayer-Str. 10) statt.

Motivation und Inhalt:

In diesem Seminar beschäftigen wir uns mit verschiedenen numerischen Methoden in den Bereichen der inversen Probleme, numerik partieller Differentialgleichungen und nichtlinearer Optimierung.

Das Seminar richtet sich an Bachelor-Studierende ab dem 4. Semester und an Master-Studierende. Es ergänzt die Vorlesung "Optimierung und inverse Probleme" aus dem Sommersemester 2024 (oder alternativ die Vorlesungen "Numerik von DGL", "Numerik von PDGL", "Fortgeschrittene Optimierung" oder "Potentialtheorie") und bildet mit dieser zusammen das Modul BaM-NUM-gs bzw. MaM-FN-gs.

Vorbesprechung mit Anmeldung und Themenvergabe:

Die Vorbesprechung mit Anmeldung und Themenvergabe findet am Dienstag, den 16.07.2024, um 16:15 Uhr in Raum 110 (Robert Mayer-Str. 10) statt.

Ort und Zeit:

Das Seminar findet wöchentlich Dienstags um 16:15 Uhr in Raum 107 (Robert Mayer-Str. 10) statt. In dem Seminar ist ein 60-minütiger Vortrag zum Thema zu halten (plus 30min Diskussion und Nachbesprechung). Eine zusätzliche schriftliche Ausarbeitung wird nicht verlangt. Zu jedem Vortrag findet jeweils zwei Wochen vorher eine Vorbesprechung statt.

Themen

• Globale Newton Konvergenz für konvexe invers-monotone Funktionen (Literatur: [OR, Theorem 13.3.7])
• Ein nichtlineares inverses Koeffizientenproblem (Literatur: [HW, Einleitung Robin Problem, Beweis Theorem 3, Lemma 4.1 und Lemma 4.3])
• Globale Newton Konvergenz für konvexe vorwärts-monotone Funktionen I (Literatur: [H1, Abschnitt 2.2])
• Globale Newton Konvergenz für konvexe vorwärts-monotone Funktionen II (Literatur: [H1, Abschnitt 2.3])
• Fréchet und Gâteaux-Ableitungen und Minimierung von Funktionalen (Literatur: [AH, Abschnitt 5.3])
• Von inversen Problemen zu semidefiniter Optimierung (Literatur: [H2, Abschnitt 2])
• Semidefinite Optimierung in einem inversen elliptischen Koeffizientenproblem (Literatur: [H2, Abschnitt 3], [H1,Lemma 5])
• Inverse Koeffizientenprobleme in elliptischen PDGL (Literatur: [H3, Motivation Abschnitt 2.1, Abschnitt 3])
• FEM-Lösung inverser Koeffizientenprobleme (Literatur: [H3, Abschnitt 4])
• Einleitung in das maschinelle Lernen und Approximation stetiger Funktionen (Literatur: [W, Abschnitt 2.0-2.3 (Seite 69-84)])
• Gradientenverfahren zum lernen der Gewichte von künstlichen neuronalen Netzen (Literatur: [W, Abschnitt 2.6], [B, Abschnitt 5.3, 5.41])
• PINNs: Lösen von Differentialgleichungen mit neuronalen Netzen (Literatur: [DM, Einleitung, Beweis Theorem 3.7])
• DeepONet: Lernen nichtlinerer Differentialgleichungsoperatoren (Literatur: [LJK, Einleitung, Universal Approximation Theorem for Operators], Beweis in [CC])
• KAN: Kolmogorov-Arnold Networks (Literatur: [LWV, Einleitung, Beweis Theorem 2.1 (B-Spline Theorie)])

Literatur

• [AH] Atkinson, Han: Theoretical Numerical Analysis - A Functional Analysis Framework, Springer, New York, 2009 (https://www.springer.com/de/book/9781441904577)
• [B] Bach: Learning Theory from First Principles, The MIT Press, 2024 (https://www.di.ens.fr/~fbach/ltfp_book.pdf)
• [CC] Chen, Chen: Universal approximation to nonlinear operators by neural networks with arbitrary activation functions and its application to dynamical systems. IEEE transactions on neural networks 6.4 (1995): 911-917. (https://ieeexplore.ieee.org/document/392253)
• [DM] De Ryck, Mishra: Error analysis for physics informed neural networks (PINNs) approximating Kolmogorov PDEs (https://arxiv.org/abs/2106.14473)
• [H1] Harrach: Uniqueness, stability and global convergence for a discrete inverse elliptic Robin transmission problem, Numer. Math. 147, 29-70, 2021 (doi:10.1007/s00211-020-01162-8)
• [H2] Harrach: Solving an inverse elliptic coefficient problem by convex non-linear semidefinite programming, Optim. Lett., 2021 (doi:10.1007/s11590-021-01802-4)
• [H3] Harrach: An Introduction to Finite Element Methods for Inverse Coefficient Problems in Elliptic PDEs, Jahresber. Dtsch. Math. Ver. 123 (3), 183-210, 2021 (doi:10.1365/s13291-021-00236-2)
• [HM] Harrach, Meftahi: Global Uniqueness and Lipschitz-Stability for the Inverse Robin Transmission Problem SIAM J. Appl. Math. 79 (2), 525–550, 2019. (https://doi.org/10.1137/18M1205388)
• [HW II] Hairer, Wanner: Solving ordinary differential equation II: Stiff and differential-algebraic problems, Springer, Heidelberg 2010 (https://www.springer.com/de/book/9783540604525)
• [LJK] Lu, Jin, Karniadakis: Learning nonlinear operators via DeepONet based on the universal approximation theorem of operators, Springer Science and Business Media LLC, 2021 (https://arxiv.org/abs/1910.03193)
• [LWV] Liu, Wang, Vaidya, Ruehle, Halverson, Soljačić, Hou, Tegmark: KAN: Kolmogorov-Arnold Networks, preprint, 2024 (https://arxiv.org/abs/2404.19756)
• [McG] McGeoch: Adiabatic Quantum Computation and Quantum Annealing: Theory and Practice, Synthesis Lectures on Quantum Computing 5.2 (2014): 1-93 (doi:10.2200/S00585ED1V01Y201407QMC008)
• [OR] Ortega, Rheinboldt: Iterative solution of nonlinear equations in several variables, Academic Press, Inc., 2014 (doi:10.1137/1.9780898719468)
• [W] Wolf: Mathematical Foundations of Supervised Learning, Lecture Notes, 2018 (https://mediatum.ub.tum.de/doc/1723378/1723378.pdf)
• [DM] De Ryck, Mishra: Error analysis for physics informed neural networks (PINNs) approximating Kolmogorov PDEs (https://mediatum.ub.tum.de/doc/1723378/1723378.pdf)

Modulzuordnung:

• Modulkürzel: BaM-NUM-gs, MaM-FN-gs
• Veranstaltungseite im Vorlesungsverzeichnis: Seminar zur Numerik